导数

基本解释

 　　导数(Derivative)是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。

详细解释

 　　导数(derivative function)

　　亦名纪数、微商，由速度变化问题和曲线的切线问题而抽象出来的数学概念。又称变化率。

　　如一辆汽车在10小时内走了 600千米，它的平均速度是60千米/小时，但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是60千米/小时。为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔，设汽车所在位置s与时间t的关系为s=f(t)，那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0]，当 t1与t0很接近时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就能较好地反映汽车在t0 到 t1这段时间内的运动变化情况 ，自然就把极限[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0] 作为汽车在时刻t0的瞬时速度，这就是通常所说的速度。一般地，假设一元函数 y=f(x )在 x0点的附近(x0-a ，x0 +a)内有定义，当自变量的增量Δx= x-x0→0时函数增量 Δy=f(x)- f(x0)与自变量增量之比的极限存在且有限，就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的导数(或变化率)。若函数f在区间I 的每一点都可导，便得到一个以I为定义域的新函数，记作 f'，称之为f的导函数，简称为导数。函数y=f(x)在x0点的导数f'(x0)的几何意义：表示曲线l 在P0[x0，f(x0)] 点的切线斜率。一般地，我们得出用函数的导数来判断函数的增减性的法则：设y=f(x )在(a，b)内可导。如果在(a，b)内，f'(x)>0,则f(x)在这个区间是单调增加的。。如果在(a，b)内，f'(x)<0,则f(x)在这个区间是单调减小的。所以，当f'(x)=0时，y=f(x )有极大值或极小值，极大值中最大者是最大值，极小值中最小者是最小值。

　　导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率。

　　导数是微积分中的重要概念。

　　导数另一个定义：当x=x0时，f‘(x0)是一个确定的数。这样，当x变化时，f'(x)便是x的一个函数，我们称他为f(x)的导函数(derivative function)(简称导数)。

　　y=f(x)的导数有时也记作y'，即 f'(x)=y'=limΔx→0[f(x+Δx)-f(x)]/Δx

　　物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示经济学中的边际和弹性。

　　以上说的经典导数定义可以认为是反映局部欧氏空间的函数变化。 为了研究更一般的流形上的向量丛截面(比如切向量场)的变化，导数的概念被推广为所谓的“联络”。 有了联络，人们就可以研究大范围的几何问题，这是微分几何与物理中最重要的基础概念之一。

　　注意：1.f'(x)<0是f(x)为减函数的充分不必要条件，不是充要条件。

　　2.导数为零的点不一定是极值点。当函数为常值函数，没有增减性，即没有极值点。但导数为零。(导数为零的点称之为驻点，如果驻点两侧的导数的符号相反，则该点为极值点，否则为一般的驻点，如y=x^3中f‘(0)=0，x=0的左右导数符号为正，该点为一般驻点。)

　　求导数的方法

　　(1)求函数y=f(x)在x0处导数的步骤：

　　① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)

　　② 求平均变化率

　　③ 取极限，得导数。

　　(2)几种常见函数的导数公式：

　　① C'=0(C为常数函数);

　　② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q);

　　③ (sinx)' = cosx;

　　④ (cosx)' = - sinx;

　　⑤ (e^x)' = e^x;

　　⑥ (a^x)' = a^xlna (ln为自然对数)

　　⑦ (Inx)' = 1/x(ln为自然对数)

　　⑧ (logax)' =(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1)

　　补充一下。上面的公式是不可以代常数进去的，只能代函数，新学导数的人往往忽略这一点，造成歧义，要多加注意。

　　(3)导数的四则运算法则：

　　①(u±v)'=u'±v'

　　②(uv)'=u'v+uv'

　　③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2

　　(4)复合函数的导数

　　复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则。

　　导数是微积分的一个重要的支柱。牛顿及莱布尼茨对此做出了卓越的贡献!

　　导数公式及证明

　　这里将列举几个基本的函数的导数以及它们的推导过程:

　　1.y=c(c为常数) y'=0

　　2.y=x^n y'=nx^(n-1)

　　3.y=a^x y'=a^xlna

　　y=e^x y'=e^x

　　4.f(x)=logaX f'(x)=1/xlna (a>0且a不等于1,x>0)

　　y=lnx y'=1/x

　　5.y=sinx y'=cosx

　　6.y=cosx y'=-sinx

　　7.y=tanx y'=1/(cosx)^2

　　8.y=cotx y'=-1/(sinx)^2

　　9.y=arcsinx y'=1/√1-x^2

　　10.y=arccosx y'=-1/√1-x^2

　　11.y=arctanx y'=1/(1+x^2)

　　12.y=arccotx y'=-1/(1+x^2)

　　在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：

　　1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x)看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』

　　2.y=u/v,y'=(u'v-uv')/v^2

　　3.y=f(x)的反函数是x=g(y)，则有y'=1/x'

　　证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c,Δy=c-c=0,limΔx→0Δy/Δx=0。

　　2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。

　　3.y=a^x,

　　Δy=a^(x+Δx)-a^x=a^x(a^Δx-1)

　　Δy/Δx=a^x(a^Δx-1)/Δx

　　如果直接令Δx→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=a^Δx-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：Δx=loga(1+β)。

　　所以(a^Δx-1)/Δx=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β

　　显然，当Δx→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。

　　把这个结果代入limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0a^x(a^Δx-1)/Δx后得到limΔx→0Δy/Δx=a^xlna。

　　可以知道，当a=e时有y=e^x y'=e^x。

　　4.y=logax

　　Δy=loga(x+Δx)-logax=loga(x+Δx)/x=loga[(1+Δx/x)^x]/x

　　Δy/Δx=loga[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/x

　　因为当Δx→0时，Δx/x趋向于0而x/Δx趋向于∞，所以limΔx→0loga(1+Δx/x)^(x/Δx)=logae,所以有

　　limΔx→0Δy/Δx=logae/x。

　　也可以进一步用换底公式

　　limΔx→0Δy/Δx=logae/x=lne/(x*lna)=1/(x*lna)=(x*lna)^(-1)

　　可以知道，当a=e时有y=lnx y'=1/x。

　　这时可以进行y=x^n y'=nx^(n-1)的推导了。因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,

　　所以y'=e^nlnx•(nlnx)'=x^n•n/x=nx^(n-1)。

　　5.y=sinx

　　Δy=sin(x+Δx)-sinx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)

　　Δy/Δx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/Δx=cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/(Δx/2)

　　所以limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0cos(x+Δx/2)•limΔx→0sin(Δx/2)/(Δx/2)=cosx

　　6.类似地，可以导出y=cosx y'=-sinx。

　　7.y=tanx=sinx/cosx

　　y'=[(sinx)'cosx-sinx(cosx)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x

　　8.y=cotx=cosx/sinx

　　y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x

　　9.y=arcsinx

　　x=siny

　　x'=cosy

　　y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2

　　10.y=arccosx

　　x=cosy

　　x'=-siny

　　y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2

　　11.y=arctanx

　　x=tany

　　x'=1/cos^2y

　　y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2

　　12.y=arccotx

　　x=coty

　　x'=-1/sin^2y

　　y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2

　　另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与

　　4.y=u土v,y'=u'土v'

　　5.y=uv,y=u'v+uv'

　　均能较快捷地求得结果。

　　对于y=x^n y'=nx^(n-1) ，y=a^x y'=a^xlna 有更直接的求导方法。

　　y=x^n

　　由指数函数定义可知，y>0

　　等式两边取自然对数

　　ln y=n*ln x

　　等式两边对x求导，注意y是y对x的复合函数

　　y' * (1/y)=n*(1/x)

　　y'=n*y/x=n* x^n / x=n * x ^ (n-1)

　　幂函数同理可证

　　导数说白了它其实就是斜率

　　上面说的分母趋于零,这是当然的了,但不要忘了分子也是可能趋于零的,所以两者的比就有可能是某一个数,如果分子趋于某一个数,而不是零的话,那么比值会很大,可以认为是无穷大,也就是我们所说的导数不存在.

　　x/x,若这里让X趋于零的话,分母是趋于零了,但它们的比值是1,所以极限为1.

　　建议先去搞懂什么是极限.极限是一个可望不可及的概念,可以很接近它,但永远到不了那个岸.

　　并且要认识到导数是一个比值.

　　导数的应用

　　1.函数的单调性

　　(1)利用导数的符号判断函数的增减性

　　利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合的思想.

　　一般地，在某个区间(a，b)内，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.

　　如果在某个区间内恒有f'(x)=0，则f(x)是常函数.

　　注意：在某个区间内，f'(x)>0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件，如f(x)=x3在R内是增函数，但x=0时f'(x)=0

　　(2)求函数单调区间的步骤

　　①确定f(x)的定义域;

　　②求导数;

　　③由(或)解出相应的x的范围.当f'(x)>0时，f(x)在相应区间上是增函数;当f'(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函数.

　　2.函数的极值

　　(1)函数的极值的判定

　　①如果在两侧符号相同，则不是f(x)的极值点;

　　②如果在附近的左侧，右侧，那么，是极大值或极小值.

　　3.求函数极值的步骤

　　①确定函数的定义域;

　　②求导数;

　　③在定义域内求出所有的驻点，即求方程及的所有实根;

　　④检查在驻点左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.

　　4.函数的最值

　　(1)如果f(x)在[a,b]上的最大值(或最小值)是在(a，b)内一点处取得的，显然这个最大值(或最小值)同时是个极大值(或极小值)，它是f(x)在(a，b)内所有的极大值(或极小值)中最大的(或最小的)，但是最值也可能在[a，b]的端点a或b处取得，极值与最值是两个不同的概念.

　　(2)求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤

　　①求f(x)在(a，b)内的极值;

　　②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

　　5.生活中的优化问题

　　生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题，优化问题也称为最值问题.解决这些问题具有非常现实的意义.这些问题通常可以转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的最大(小)值问题.